Interaktiv: Binomialkoeffizienten erklärt

Der Binomialkoeffizient beantwortet die Frage: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus n Dingen k Dinge auszuwählen?“ (Mein Lieblingsbeispiel ist: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Online-Session mit 30 Studierenden eine Break-Out-Session mit 5 Studierenden zu bilden?“)

Die Formel hinter dem Binomialkoeffizienten $n \choose k$ („n über k“) sieht mit ihren drei Fakultätszeichen (Ausrufezeichen) ziemlich exotisch aus: $\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$ . So richtig schwierig aber ist sie nicht zu berechnen, zumindest wenn man sich daran erinnert, was das Fakultätszeichen $n!$ bedeutet: Das Produkt aus $n$ mit allen natürlichen Zahlen, die kleiner sind als $n$ (z. B. $4!= 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ ).

Wie aber kommt es zu dieser Formel? Da muss man schon etwas nachdenken und braucht dazu das richtige Bild vor Augen.

Binomialkoeffizient erklärt

Wir stellen uns vor, wir vergeben blaue und orangefarbene Trikots an Männchen, die in einer Reihe stehen. Stelle am blauen Schieberegler die Anzahl der blauen Trikots und am orangefarbenen Schieberegler die Anzahl der orangefarbenen Trikots ein. Die Gesamtzahl der Männchen ist dann die Zahl n, die Anzahl der blauen Trikots die Zahl k.

Mit dem weißen Schieberegler kannst du durch die insgesamt $n \choose k$ Blau-Orange-Kombinationen wandern (wobei nur die Trikotfarben interessieren, nicht die Trikotnummern). Wir stellen uns nun die Frage, wie viele solcher Blau-Orange-Kombinationen existieren.

Wir stellen uns hierzu die Trikotfarben behelfsweise als nummeriert, d. h. unterscheidbar, vor (erst die blauen von links nach rechts, gefolgt von den orangefarbenen von links nach rechts). Nun überlegt man sich für jede gegebene Blau-Orange-Kombination, wie viele andere Konstellationen dieselbe Blau-Orange-Kombination ergeben. Diese „Zwillings-Konstellationen“ sind im unteren Block in der App dargestellt. Man kann sich schnell überzeugen, dass jede mit dem weißen Schieberegler auswählbare Blau-Orange-Kombination dieselbe Anzahl von Zwillingskonstellationen hat (d. h. der Block der Zahlenkombis hat immer dieselbe Größe), und zwar so viele wie „Anzahl Möglichkeiten, die blauen Zahlen zu permutieren, mal Anzahl Möglichkeiten, die orangefarbenen Zahlen zu permutieren“, also $k!\cdot (n-k)!$ .

Dass diese Anzahl der Zwillingskonstellationen für jede Blau-Orange-Kombination gleich groß ist, ist super: Denn um die Anzahl der Blau-Orange-Kombinationen herauszufinden, kann man nun einfach die Anzahl aller Permutationen von $n$ Zahlen ( $n!$ ) durch die Anzahl der Zwillingskonstellationen pro Blau-Orange-Kombination ( $k!\cdot (n-k)!$ ) dividieren – voilà die Formel.