Interaktiv: Wurzeln komplexer Zahlen

Die Wurzel ist die Wurzel allen Übels. Wenn man so will. Denn wäre das Wurzelziehen bei den reellen, und insbesondere bei den unbequemen negativen Zahlen kein Problem, hätte man die komplexen Zahlen erst gar nicht ersinnen müssen. So aber mussten sie eingeführt werden, und jetzt müssen sie auf den mathematischen Zahnarztstuhl. Wurzelbehandlung. Das Schöne ist: Jede von ihnen hat genau n verschiedene n-te Wurzeln, und die sind auch noch hübsch angeordnet – wie auf einer Geburtstagstorte. Happy Birthday.

Bewege die komplexe Zahl z (blauer Punkt) und wähle mit dem Schieberegler für n einen Wert zwischen 2 und 20. Die orangefarbenen komplexen Zahlen sind dann (alle n) n-ten komplexen Wurzeln von z. Sie liegen alle gleichmäßig verteilt auf einem Kreis um den Ursprung. Wie lautet der „Konstruktionsplan“ für diese Wurzeln? Einfach:

Der Radius des Kreises ist die n-te (reelle) Wurzel des Radius von z. Sonderfall: Er ist 1, wenn z den Radius 1 hat, also auf dem Einheitskreis (weiß) liegt.
Der Winkel der ersten Wurzel ist der Winkel von z geteilt durch n.
Die verbleibenden n-1 Wurzeln werden dann gleichmäßig auf dem Kreis verteilt.

Es ist wie mit einem Kuchen am Kindergeburtstag: Die Herausforderung ist, den ersten Schnitt richtig zu setzen; der Rest besteht dann nur noch darin, den Kuchen in gleich große Stücke zu schneiden 🙂